Question

已知函数
（1）当时，求的最小值；
（2）在区间（1,2）内任取两个实数p，q，且p≠q,若不等式>1恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求证：（其中）。

Answer 1

（1）；（2）（3）详见解析

试题分析：（1）求导，令导数大于0得增区间，令导数小于0得减区间，根据函数的单调性求其最小值。（2）因为，表示点与点连成的斜率，可将问题转化为直线的斜率问题。根据导数的几何意义可求其斜率，将恒成立问题转化为求函数最值问题，求最值时还是用求导再求其单调性的方法求其最值。（3）由（2）可得，则有。用放缩法可证此不等式。
试题解析：解：（1）
得
上递减，上递增。
。           4分
（2），
表示点与点连成的斜率，又，，即函数图象在区间（2，3）任意两点连线的斜率大于1，
即内恒成立.            6分
所以，当恒成立.

设
若
当上单调递减；
当上单调递增.             9分
又
故                 10分
（3）由（2）得，
                                    11分
所以
又
而
成立.           14分