题目内容
（本小题满分12分）如图，在直三棱柱
中，
，
为
的中点，且
，
（1）当
时，求证：
；
（2）当
为何值时，直线
与平面
所成的角的正弦值为
，并求此时二面角
的余弦值。
中，，为的中点，且，（1）当
时，求证：；（2）当
为何值时，直线与平面所成的角的正弦值为，并求此时二面角的余弦值。（1）见解析；（2）二面角的余弦值为
的余弦值为 第一问中设
,建系
第二问，设
则
，
易知面
的法向量
设直线
与平面所成角为
，
则
，
，
， 
，
,
设面
的法向量
则
， 
利用两平面的法向量得到二面角的平面角。
解：（1）设
,如图建系，则
,
,
…．．．4
（2）设则，
易知面的法向量设直线与平面所成角为，
则，，， ，
,
．．．8
设面的法向量
则， ．．．．．．9
设面
的法向量
则
，
设二面角的大小为
则
二面角的余弦值为 ．．．12
,建系第二问，设
则，易知面
的法向量设直线与平面所成角为，则
，，， ，,设面
的法向量则
， 利用两平面的法向量得到二面角的平面角。
解：（1）设
,如图建系，则,, …．．．4 （2）设
则，易知面
的法向量设直线与平面所成角为，则
，，， ，, ．．．8设面的法向量则
， ．．．．．．9设面的法向量则， 设二面角的大小为则 二面角的余弦值为 ．．．12
练习册系列答案
全能测控期末小状元系列答案
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中，底面
是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，
与
的交点为
，
为侧棱
上一点．
中，
，
，
，
，点
是棱
的中点．
平面
；
的余弦值．
为正方形，
平面
，
．
在线段
上，且满足
,求证：
平面
；
平面
；
的余弦值．
中，
，
，
，
是侧棱
上的动点.
时，求证：
；
的平面角的余弦值为
，试求实数
的值.
，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. 
中，底面
为矩形，平面
，
,
,
为
的中点，
∥平面
；（2）平面
平面
．
,直线
，则下列四个命题：①
；②
；③
；④
.其中正确的是( ).