Question

9．关于x的方程a^x=log${\;}_{\frac{1}{a}}$x（a＞0且a≠1）（　　）

• A． 无解
• B． 必有唯一解
• C． 当且仅当a＞1时有唯一解
• D． 当且仅当0＜a＜1时有唯一解

Answer 1

分析 化方程的解为两函数的交点，由指数函数和对数函数的图象可得．

解答 解：方程a^x=log${\;}_{\frac{1}{a}}$x可化为a^x=-log_ax，
当a＞1时，函数y=a^x单调递增过定点（0，1），
函数y=-log_ax单调递减过定点（1，0），
结合图象可知两函数图象有唯一交点；
同理可得当0＜a＜1时，函数y=a^x单调递减过定点（0，1），
函数y=-log_ax单调递增过定点（1，0），
结合图象可知两函数图象有唯一交点；
综合可得关于x的方程必有唯一解．
故选：B

点评 本题考查指数函数和对数函数的性质，属基础题．