Question

9．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^{-x}}-1，x≤0\\ f（x-1），x＞0\end{array}$，若方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （-∞，1]
• C． （0，1）
• D． [0，+∞）

Answer 1

分析 我们在同一坐标系中画出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^{-x}}-1，x≤0\\ f（x-1），x＞0\end{array}$的图象与函数y=x+a的图象，利用数形结合，我们易求出满足条件实数a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^{-x}}-1，x≤0\\ f（x-1），x＞0\end{array}$的图象如图所示，
当a＜1时，函数y=f（x）的图象与函数y=x+a的图象有两个交点，
即方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根．
故选：A．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数的判断，将方程f（x）=x+a根的个数，转化为求函数零点的个数，并用图象法进行解答是本题的关键．