题目内容
【题目】如图，在棱长为1的正方体
中，P为线段
上的动点，下列说法正确的是（ ）
A.对任意点P，
平面
B.三棱锥
的体积为
C.线段DP长度的最小值为
D.存在点P，使得DP与平面
所成角的大小为
【答案】ABC
【解析】
对四个选项逐一分析，
对于A：平面
平面
，可得
平面；
对于B：三棱锥
的高均为1，底面
的面积为
，根据锥体体积公式计算即可作出判断；
对于C：当点P为
的中点时，DP最小，此时
，在
中利用勾股定理进行计算可得出DP的最小值；
对于D：设点P在平面
上的投影为点Q，
为DP与平面所成的角，
，
，而
，所以DP与平面所成角的正弦值的取值范围是
，而
，从而作出判断.
由题可知，正方体的面对角线长度为
，
对于A：分别连接
、
、
、
、
，易得平面平面，
平面
，故对任意点P，平面，故正确；
对于B：分别连接
、
，无论点P在哪个位置，三棱锥的高均为1，底面的面积为，所以三棱锥的体积为
，故正确；
对于C：线段DP在
中，当点P为的中点时，DP最小，此时，在中，
，
故DP的最小值为
，故正确；
对于D：点P在平面上的投影在线段上，设点P的投影为点Q，则为DP与平面所成的角，，，
而
，所以DP与平面所成角的正弦值的取值范围是，而，
所以不存在点P，使得DP与平面所成角的大小为
，故错误.
故选：ABC.
【题目】2020年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感染最有效的方式．在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗该种病毒．某小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如下：
（1）求a的值，并估计这100位居民锻炼时间的平均值
（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家7天的锻炼时长：
序号n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
锻炼时长m（单位：分钟） | 10 | 15 | 12 | 20 | 30 | 25 | 35 |
（Ⅰ）根据数据求m关于n的线性回归方程；
（Ⅱ）若
（是（1）中的平均值），则当天被称为“有效运动日”．估计小张“宅”家第8天是否是“有效运动日”？
附；在线性回归方程
中，
，
．
