题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，已知椭圆
： 
（
）的离心率
且椭圆
上的点到点
的距离的最大值为3.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）在椭圆
上，是否存在点
，使得直线
： 
与圆
： 
相交于不同的两点
、
，且
的面积最大？若存在，求出点
的坐标及对应的
的面积；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）存在，M的坐标为
、
、
、
，最大值为
。
【解析】试题分析：（1）离心率
，得到
，即此时椭圆方程为
，设椭圆上的点为P
，
两点间的距离等于3，可得到b=1，所以可求得椭圆方程；（2）在解析几何中，三角形的面积公式通常有两种计算方式，
，本题由于没有给出角度的关系，所以采用第一种方法。通过联立方程即可得到M的坐标。
试题解析：（Ⅰ）因为
，所以
，于是
. 1分
设椭圆
上任一点
，椭圆方程为
，
，
=
①当
，即
时，
（此时
舍去； 3分
②当
即
时，
5分
综上椭圆C的方程为
。 6分
（Ⅱ）圆心到直线
的距离为
，弦长
，所以
的面积为
8分
点
,
10分
当
时，
由
得
综上所述，椭圆上存在四个点
、
、
、
，使得直线与圆相交于不同的两点
、
，且
的面积最大，且最大值为
. 12分
【题目】某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分（采用百分制），剔除平均分在
分以下的学生后，共有男生
名，女生
名.现采用分层抽样的方法，从中抽取了
名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为
组，得到如下所示频数分布表.
分数段 |
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男 |
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女 |
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（Ⅰ）规定
分以上为优分（含分），请你根据已知条件作出
列联表.
优分 | 非优分 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
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（Ⅱ）根据你作出的
列联表判断是否有
以上的把握认为“数学成绩与性别有关”.
附表及公式：
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，其中
.
【题目】随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过
的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，每超过（不足，按计算）需再收5元.
该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：
包裹重量（单位： | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
包裹件数 | 43 | 30 | 15 | 8 | 4 |
公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：
包裹件数范围 | 0~100 | 101~200 | 201~300 | 301~400 | 401~500 |
包裹件数（近似处理） | 50 | 150 | 250 | 350 | 450 |
天数 | 6 | 6 | 30 | 12 | 6 |
以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.
（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率；
（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每件揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是公司老总，是否进行裁减工作人员1人？
