题目内容

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn , 已知a1=1, ,n∈N*
(1)求a2的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明:对一切正整数n,有

【答案】
(1)解:当n=1时, ,解得a2=4
(2)解:

当n≥2时,

①﹣②得

整理得nan+1=(n+1)an+n(n+1),即

当n=1时,

所以数列{ }是以1为首项,1为公差的等差数列

所以 ,即

所以数列{an}的通项公式为 ,n∈N*


(3)证明:因为 (n≥2)

所以 =

当n=1,2时,也成立


【解析】(1)利用已知a1=1, ,n∈N* . 令n=1即可求出;(2)利用an=Sn﹣Sn1(n≥2)即可得到nan+1=(n+1)an+n(n+1),可化为 .再利用等差数列的通项公式即可得出;(3)利用(2),通过放缩法 (n≥2)即可证明.

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