Question

可以证明, 对任意的, 有成立. 下面尝试推广该命题:

（1）       设由三项组成的数列每项均非零, 且对任意的有

成立, 求所有满足条件的数列;

（2）设数列每项均非零, 且对任意的有

成立, 数列的前项和为. 求证: , ;

（3）是否存在满足(2)中条件的无穷数列, 使得? 若存在, 写出一个这样的无穷数列(不需要证明它满足条件); 若不存在, 说明理由.

Answer 1

解：（1） 取, 有, 又, 所以.                                                (2分)

取, 有, 于是, 又, 所以或2.                                                                                                          (4分)

取, 有.

当时, , 又, 所以.

当时, , 整理得, , 所以或.

综上, 所有满足条件的数列为.                                          (6分)

（2）由已知, , 用替换, 得到

.

两式相减, 有

                            (9分)

 .

因, 所以, .                                                         (12分)

（3）存在. 是一个满足条件的无穷数列.                      (18分)

注: 满足(2)中条件的数列递推式为或, 所以符合的数列前2012项必须为, 之后的项只需满足递推式即可, 但要注意不能出现值为0的项.