题目内容
可以证明，对任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面尝试推广该命题：（1）设由三项组成的数列a1，a2，a3每项均非零，且对任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有满足条件的数列；
（2）设数列{an}每项均非零，且对任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，数列{an}的前n项和为Sn．求证：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
（3）是否存在满足（2）中条件的无穷数列{an}，使得a2012=-2011？若存在，写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）； 若不存在，说明理由．
【答案】分析：（1）利用（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3，分别取n=1，2，3代入求解即可；
（2）由已知当n≥2时，a13+a23+…+an3=Sn2，a13+a23+…+an-13=Sn-12，两式相减，化简可证；
（3）存在，
是一个满足条件的无穷数列．
解答：解：（1）取n=1有a12=a13，又a1≠0，∴a1=1
取n=2，有（1+a2）2=1+a23，∴a2=-1或2
当a2=-1时，同理得a3=1；
当a2=2时，同理得a3=3或-2
综上知，所有满足条件思维数列为1，-1，1；1，2，3；1，2，-2．
（2）由已知当n≥2时，a13+a23+…+an3=Sn2，
a13+a23+…+an-13=Sn-12，
两式相减知：an3=Sn2-Sn-12=an（2a1+2a2+…+2an-1+an），
∵an＞0
∴an2=2a1+2a2+…+2an-1+2an-an
∴an2=2Sn-an
∴an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
（3）存在，
是一个满足条件的无穷数列．
点评：本题以已知命题为前提，尝试推广新命题，考查赋值法．在解答的过程当中充分体现了数列通项与前n项和的知识．
（2）由已知当n≥2时，a13+a23+…+an3=Sn2，a13+a23+…+an-13=Sn-12，两式相减，化简可证；
（3）存在，
是一个满足条件的无穷数列．解答：解：（1）取n=1有a12=a13，又a1≠0，∴a1=1
取n=2，有（1+a2）2=1+a23，∴a2=-1或2
当a2=-1时，同理得a3=1；
当a2=2时，同理得a3=3或-2
综上知，所有满足条件思维数列为1，-1，1；1，2，3；1，2，-2．
（2）由已知当n≥2时，a13+a23+…+an3=Sn2，
a13+a23+…+an-13=Sn-12，
两式相减知：an3=Sn2-Sn-12=an（2a1+2a2+…+2an-1+an），
∵an＞0
∴an2=2a1+2a2+…+2an-1+2an-an
∴an2=2Sn-an
∴an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
（3）存在，
是一个满足条件的无穷数列．点评：本题以已知命题为前提，尝试推广新命题，考查赋值法．在解答的过程当中充分体现了数列通项与前n项和的知识．
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