题目内容
可以证明，对任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面尝试推广该命题：
（1）设由三项组成的数列a1，a2，a3每项均非零，且对任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有满足条件的数列；
（2）设数列{an}每项均非零，且对任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，数列{an}的前n项和为Sn．求证：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
（3）是否存在满足（2）中条件的无穷数列{an}，使得a2011=2009？若存在，写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）； 若不存在，说明理由．
（1）设由三项组成的数列a1，a2，a3每项均非零，且对任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有满足条件的数列；
（2）设数列{an}每项均非零，且对任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，数列{an}的前n项和为Sn．求证：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
（3）是否存在满足（2）中条件的无穷数列{an}，使得a2011=2009？若存在，写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）； 若不存在，说明理由．
分析：（1）取n=1，求出首项a1的值，取n=2，求出a2的值，取n=3，可求出a3的值，从而求出所求；
（2）由已知，Sn2=a13+a23+…+an3，用n+1替换n，得到（Sn-an+1）2=a13+…+an+13，两式相减，可证得结论；
（3）满足（2）中条件的数列递推式为an+1=an+1或-an．所以符合a2011=2009的数列的前2011项为1，2，…，k-1，k-k，k，k-1，…，2009，之后的项只需满足递推式即可．但要注意不能出现值为0的项．
（2）由已知，Sn2=a13+a23+…+an3，用n+1替换n，得到（Sn-an+1）2=a13+…+an+13，两式相减，可证得结论；
（3）满足（2）中条件的数列递推式为an+1=an+1或-an．所以符合a2011=2009的数列的前2011项为1，2，…，k-1，k-k，k，k-1，…，2009，之后的项只需满足递推式即可．但要注意不能出现值为0的项．
解答：解：（1）取n=1，有a12=a13，又a1≠0，所以a1=1．
取n=2，有（1+a2）2=1+a23，于是a2（a2-2）（a2+1）=0，又a2≠0，所以a2=-1或2．
取n=3，有（1+a2+a3）2=1+a23+a33，
当a2=-1时，a32=a33，又a3≠0，所以a3=1．
当a2=2时，（1+2+a3）2=1+23+a33，整理得a3（a3-3）（a3+2）=0，所以a3=3或-2．
综上，说有满足条件的数列为1，-1，1，或1，2，3，或1，2，-2．
（2）由已知，Sn2=a13+a23+…+an3，用n+1替换n，得到（Sn-an+1）2=a13+…+an+13，两式相减，
有an+13-（Sn-an+1）2-Sn2=（2Sn-an+1）an+1，因an+1≠0，所以an+12-an+1=2Sn，n∈N+
（3）存在，1，-1，1，2，3，…，2008，2009，2010，…是一个满足条件的无穷数列．
取n=2，有（1+a2）2=1+a23，于是a2（a2-2）（a2+1）=0，又a2≠0，所以a2=-1或2．
取n=3，有（1+a2+a3）2=1+a23+a33，
当a2=-1时，a32=a33，又a3≠0，所以a3=1．
当a2=2时，（1+2+a3）2=1+23+a33，整理得a3（a3-3）（a3+2）=0，所以a3=3或-2．
综上，说有满足条件的数列为1，-1，1，或1，2，3，或1，2，-2．
（2）由已知，Sn2=a13+a23+…+an3，用n+1替换n，得到（Sn-an+1）2=a13+…+an+13，两式相减，
有an+13-（Sn-an+1）2-Sn2=（2Sn-an+1）an+1，因an+1≠0，所以an+12-an+1=2Sn，n∈N+
（3）存在，1，-1，1，2，3，…，2008，2009，2010，…是一个满足条件的无穷数列．
点评：本题主要考查了数列的应用，同时考查了数列的求和，同时考查了推理能力，属于中档题．
练习册系列答案
新编小学单元自测题系列答案
字词句段篇系列答案
相关题目
