题目内容
一个四棱锥P一ABCD的正视图是边长为2的正方形及其一条对角线,侧视图和俯视图全全等的等腰直角三角形,直角边长为2,直观图如图.
(1)求四棱锥P一ABCD的体积:
(2)求二面角C-PB-A大小;
(3)M为棱PB上的点,当PM长为何值时,CM⊥PA?

(1)求四棱锥P一ABCD的体积:
(2)求二面角C-PB-A大小;
(3)M为棱PB上的点,当PM长为何值时,CM⊥PA?

(1)由三视图可知,PD⊥平面ABCD,
∴四棱锥P-ABCD的体积V=
SABCD•PD=
;
(2)如图,以D为坐标原点,分别以DP、DC、DA所在
直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设CP中
点为E,则OE⊥PC,OE⊥BC,所以
是平面PBC的法向量;设AP中点为F,同理
可知
是平面PAB的法向量.
知
是平面PAB的法向量.
=(1,1,0),
=(1,0,1),
设二面角C-PB-A的平面角为θ,则|cosθ|=|
=
,显然θ>
,
所以二面角C-PB-A大小为
;
(3)P(2,0,0),B(0,2,2),C(0,2,0),A(0,0,2),∵PMB共线,
∴可设
=k•
=(-2k,2k,2k),k∈R,
=
+
=(2-2k,-2+2k,2k),
=(-2,0,2),
∵CM⊥PA,所以
•
=8k-4=0,∴k=
∴
=(-1,1,1),|
|=
∴PM的长为
时,CM⊥PA

∴四棱锥P-ABCD的体积V=
1 |
3 |
8 |
3 |
(2)如图,以D为坐标原点,分别以DP、DC、DA所在
直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设CP中
点为E,则OE⊥PC,OE⊥BC,所以
OE |
可知
OF |
知
OF |
OE |
OF |
设二面角C-PB-A的平面角为θ,则|cosθ|=|
| ||||
|
|
1 |
2 |
π |
2 |
所以二面角C-PB-A大小为
2π |
3 |
(3)P(2,0,0),B(0,2,2),C(0,2,0),A(0,0,2),∵PMB共线,
∴可设
PM |
PB |
CM |
CP |
PM |
PA |
∵CM⊥PA,所以
CM |
PA |
1 |
2 |
PM |
PM |
3 |
∴PM的长为
3 |


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