题目内容

一个四棱锥P一ABCD的正视图是边长为2的正方形及其一条对角线,侧视图和俯视图全全等的等腰直角三角形,直角边长为2,直观图如图.
(1)求四棱锥P一ABCD的体积:
(2)求二面角C-PB-A大小;
(3)M为棱PB上的点,当PM长为何值时,CM⊥PA?
(1)由三视图可知,PD⊥平面ABCD,
四棱锥P-ABCD的体积V=
1
3
SABCD•PD=
8
3

(2)如图,以D为坐标原点,分别以DP、DC、DA所在
直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设CP中
点为E,则OE⊥PC,OE⊥BC,所以
OE
是平面PBC的法向量;设AP中点为F,同理
可知
OF
是平面PAB的法向量.
OF
是平面PAB的法向量.
OE
=(1,1,0),
OF
=(1,0,1)

设二面角C-PB-A的平面角为θ,则|cosθ|=|
OE
OF
|
OE
|•|
OF
|
=
1
2
,显然θ>
π
2

所以二面角C-PB-A大小为
3

(3)P(2,0,0),B(0,2,2),C(0,2,0),A(0,0,2),∵PMB共线,
∴可设
PM
=k•
PB
=(-2k,2k,2k),k∈R,
CM
=
CP
+
PM
=(2-2k,-2+2k,2k)
PA
=(-2,0,2)

CM⊥PA,所以
CM
PA
=8k-4=0
,∴k=
1
2
PM
=(-1,1,1),|
PM
|=
3

∴PM的长为
3
时,CM⊥PA
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