题目内容

关于直线m、n与平面α、β,有以下四个命题:
①若m∥α,n∥β且α∥β,则m∥n   ②若m∥α且n⊥β且α⊥β,则m∥n
③若m⊥α,n∥β且α∥β,则m⊥n   ④若m⊥α,n⊥β且α⊥β,则m⊥n
其中真命题有(  )
分析:命题①中注意考虑面面平行的性质及m与n位置的多样性;
命题②中注意考虑面面垂直的性质及m与n位置的多样性;
命题③根据n∥β且α∥β,知n∥α;
命题④由m⊥α,n⊥β且α⊥β,可知m与n不平行,借助于直线平移先得到一个与m或n都平行的平面,
则所得平面与α、β都相交,根据m与n所成角与二面角平面角互补的结论.
解答:解:命题①中,由m∥α,n∥β且α∥β,能得到m∥n,或m与n 异面,或m与n相交三种可能,故命题①错误;
命题②中,根据∵m∥α且n⊥β且α⊥β,也能得到m∥n,或m与n 异面,或m与n相交三种可能,故命题②错误;
命题③中,若m⊥α,且α∥β,则m⊥β,又因为n∥β,所以m⊥n,故命题③正确;
对于命题④,由m⊥α,n⊥β且α⊥β,则m与n一定不平行,否则有α∥β,与已知α⊥β矛盾,通过平移使得m与n相交,
且设m与n确定的平面为γ,则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角,因为α⊥β,所以m与n所成的角为90°,故命题④正确.
故选B.
点评:本题考查命题的真假判断与应用,着重考查空间中直线与平面之间的位置关系,考查空间想象能力,属于基础题.
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