题目内容
已知向量
=（2sinx，cosx），
=（cosx，2cosx），函数f（x）=
•
．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求函数f（x）在区间[
，
]上的最大值和最小值．
| a |
| b |
| a |
| b |
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求函数f（x）在区间[
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
分析：（1）根据平面向量数量积的坐标运算公式，结合辅助角公式化简可得f（x）=
sin（2x+
）+1，结合正弦函数的图象与性质，即可得到求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）因为x∈[
，
]，所以2x+
∈[
，
]，再根据正弦函数的单调性即可得到函数f（x）的最大值和最小值．
| 2 |
| π |
| 4 |
（2）因为x∈[
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| 7π |
| 4 |
解答：解：（1）∵向量
=（2sinx，cosx），
=（cosx，2cosx），
∴f（x）=
•
=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=
sin（2x+
）+1
由此可得：函数的最小正周期是
=π，最大值是
+1；
（2）∵x∈[
，
]，∴
≤2x+
≤
结合正弦函数的图象，可得sin（2x+
）∈[-1，
]
∴f（x）=
sin（2x+
）+1的最大值为f（
）=2，
最小值是为f（
）=1-
．
| a |
| b |
∴f（x）=
| a |
| b |
| 2 |
| π |
| 4 |
由此可得：函数的最小正周期是
| 2π |
| 2 |
| 2 |
（2）∵x∈[
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 7π |
| 4 |
结合正弦函数的图象，可得sin（2x+
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
∴f（x）=
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
最小值是为f（
| 5π |
| 8 |
| 2 |
点评：本题以向量的数量积运算为载体，求函数的单调增区间与最值，着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．
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