Question

14．已知函数f（x）=x+$\frac{m}{x}$+1（m为实数）．
（1）若m=0，则函数g（x）=$\frac{x+2}{f（x）}$的图象如何由函数y=$\frac{1}{x}$的图象变换而得？
（2）若m=-2，且方程f（x）=$\frac{k}{x}$在（-∞，0）上有两个不等的根，求实数k的取值范围；
（3）若函数y=f（x）在区间[3，+∞）上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）g（x）=$\frac{x+2}{f（x）}$=$\frac{x+2}{x+1}$=1+$\frac{1}{x+1}$，根据左加右减，上加下减即可得到；
（2）根据判别式即可求出k的范围；
（3）由题意，任取x₁、x₂∈[9，+∞），且x₁＜x₂，然后作差即可判断出实数m的取值范围．

解答 解：（1）m=0时，f（x）=x+1，
∴g（x）=$\frac{x+2}{f（x）}$=$\frac{x+2}{x+1}$=1+$\frac{1}{x+1}$，
∴g（x）=$\frac{x+2}{f（x）}$的图象由函数y=$\frac{1}{x}$的图象先先左平移一个单位，再向上平移一个单位得到的．
（2）m=2时，f（x）=x+$\frac{2}{x}$+1，
∴x+$\frac{2}{x}$+1=$\frac{k}{x}$，
∴x²+x+（2-k）=0，
∵方程f（x）=$\frac{k}{x}$在（-∞，0）上有两个不等的根，
∴△=1-4（2-k）＞0，
解的k＞$\frac{7}{4}$，
∴实数k的取值范围为（$\frac{7}{4}$，+∞）；
（3）由题意，任取x₁、x₂∈[3，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{m}{{x}_{1}}$+1-x₂-$\frac{m}{{x}_{2}}$-1=（x₁-x₂）+$\frac{m（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（1-$\frac{m}{{x}_{1}{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-m}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴x₁x₂-m＞0，即m＜x₁x₂，
由x₂＞x₁≥3，得x₁x₂＞9，所以m≤9．所以，m的取值范围是（-∞，9]．

点评 本考查函数恒成立问题，函数的单调性的应用，函数单调性的定义应用，综合性强，考查了转化思想，属于中档题．