Question

在△ABC中，a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边，锐角B满足sinB=

5

3

．
（1）求sin2B+cos2

A+C

2

的值；
（2）若b=

2

，当ac取最大值时，求cos(A+

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（1）先利用sinB求得cosB，进而根据二倍角公式对sin2B+cos2

A+C

2

化简整理把sinB和cosB代入即可．
（2）先根据余弦定理求得a和c的关系，进而根据均值不等式求得ac取最大值时a和c的值，利用余弦定理求得cosA，进而求得sinA，代入cos(A+

π

3

)中答案可得．

解答：解：（Ⅰ）∵锐角B满足sinB=

5

3

，∴cosB=

2

3

∵sin2B+cos²

A+C

2

=2sinB•cosB+

1+cos(A+C)

2

=2sinBcosB+

1-cosB

2

=2×

5

3

×

2

3

+

1- 2 3

2

=

8 5 +3

18

．
（Ⅱ）∵cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

2

3

，
∴

4

3

ac=a2+c2-2≥2ac-2
∴ac≤3，当且仅当a=c=

3

时，ac取到最大值
∴ac取到最大值时，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b

2c

=

2

2 3

=

6

6

．
∴sinA=

1-cos2A

=

1- 1 6

=

30

6

∴cos(A+

π

3

)=cosAcos

π

3

-sinAsin

π

3

=

6

6

×

1

2

-

30

6

×

3

2

=

6 -3 10

12

点评：本题主要考查了利用二倍角公式化简求值的问题．属基础题．