Question

已知m∈R，设命题p：不等式|m|≥

a2+8

对任意a∈[-1，1]恒成立；命题q：函数f（x）=x³+mx²+（m+

4

3

）x+6在R上有极值．则使“p或q”为真“p且q”为假的m的取值范围为

（-3，-1）∪[3，4]

．

Answer 1

分析：先求出命题p，q为真时的等价条件，然后利用条件“p或q”为真“p且q”为假的条件，确定m的取值范围．

解答：解：当a∈[-1，1]时，

a2+8

∈[2

2

，3]，所以要使|m|≥

a2+8

对任意a∈[-1，1]恒成立；则|m|≥3，即m≥3或m≤-3，即p：m≥3或m≤-3．
函数f（x）=x³+mx²+（m+

4

3

）x+6的导数为f'（x）=3x2+2mx+m+

4

3

，要使函数f（x）=x³+mx²+（m+

4

3

）x+6在R上有极值，则判别式△＞0，
即4m2-4×3×(m+

4

3

)＞0，整理得m²-3m-4＞0，即m＞4或m＜-1，即q：m＞4或m＜-1．
使“P或q”为真“p且q”为假，则p，q一真一假．
若p真，q假，则

m≥3或m≤-3 -1≤m≤4

，解得3≤m≤4．
若p假，q真，则

m＞4或m＜-1 -3＜m＜4

，解得-3＜m＜-1
综上m的取值范围是（-3，-1）∪[3，4]．
故答案为：（-3，-1）∪[3，4]．

点评：本题主要考查复合命题的应用，要求熟练掌握复合命题与简单命题真假之间的关系．