题目内容

已知m∈R,设命题p:在平面直角坐标系xoy中,方程
x2
m+2
+
y2
3-m
=1表示的曲线为双曲线;命题q:函数f(x)=x3+mx2+(m+
4
3
)x+6
在(-∞,+∞)上存在极值.求使“p且q”为真命题时的m的取值范围.
分析:先分别求出命题p和命题q的等价命题,即分别求出命题p和命题q为真命题时m的取值范围,再由“p且q”为真命题,知p真且q真,最后求交集即可
解答:解:命题p为真命题?(m+2)(3-m)<0?m<-2或m>3
对于函数f(x)=x3+mx2+(m+
4
3
)x+6
,有f ′(x)=3x2+2mx+m+
4
3

函数f(x)=x3+mx2+(m+
4
3
)x+6
在(-∞,+∞)上存在极值?f'(x)=0有两个不等实根?(2m)2-12(m+
4
3
)>0?m<-1或m>4

于是命题q为真命题?m<-1或m>4.
所以“p且q”为真命题?命题p和q都是真命题-?
m<-2或m>3
m<-1或m>4
?m<-2或m>4

故使“p且q”为真命题的m的取值范围是(-∞,-2)∪(4,+∞).
点评:本题考查了复合命题、简单逻辑连接词、真值表的应用,解题时不仅要熟记真值表,还要熟练掌握双曲线的标准方程、导数求极值的方法等基础知识
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