Question

已知m∈R，设命题p：在平面直角坐标系xOy中，方程

x2

m+2

+

y2

9-m

=1表示双曲线；命题q：关于x的方程x²-3mx+2m²+1=0的两个实根均大于1． 求使“p且q”为假命题，“p或q”为真命题的实数m的取值范围．

Answer 1

分析：先对两个条件化简，求出各自成立时参数所满足的范围，再根据“p或q”为真，p且q”为假判断出两命题的真假情况，然后求出实数m的取值范围．

解答：解：命题p为真命题?（m+2）（9-m）＜0?m＜-2或m＞9，
设方程x²-3mx+2m²+1=0的两个实根分别为x₁，x₂，则
命题q为真命题?

△=(3m)2-4(2m2+1)≥0 x1+x2＞2 (x1-1)(x2-1)＞0

?m≥2，
∵p且q为假命题，p或q为真命题∴p与q一真一假，
∴当p真q假时，解得m＜-2
当p假q真时，同理可得2≤m≤9
综上所述，m的取值范围是（-∞，-2）∪[2，9]．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，解题的关键是对两个命题时行化简，以及正确理解“p或q”为真，p且q”为假的意义．本题易因为对此关系判断不准出错，属中档题．