Question

18．已知函数y=f（x）的定义域为D，且f（x）同时满足以下条件：
①f（x）在D上是单调递增或单调递减函数；
②存在闭区间[a，b]?D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值集合也是[a，b]．那么，我们称函数y=f（x）（x∈D）是闭函数．
（1）判断f（x）=-x³是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由．
（2）若f（x）=k+$\sqrt{x+2}$是闭函数，求实数k的取值范围．
（注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增函数还是减函数即可）

Answer 1

分析 （1）由条件利用闭函数的定义判断f（x）=-x³是不是闭函数．
（2）根据闭函数的定义，a，b是方程x²-（2k+1）x+k²-2=0的两根，且a≥k，b＞k．令f（x）=x²-（2k+1）x+k²-2，得$\left\{\begin{array}{l}{f（k）≥0}\\{△＞0}\\{\frac{2k+1}{2}＞k}\end{array}\right.$，由此求得k的范围．

解答 解：（1）f（x）=-x³在R上是减函数，满足①；
设存在区间[a，b]，f（x）的取值集合也是[a，b]，则$\left\{\begin{array}{l}{{-a}^{3}=b}\\{{-b}^{3}=a}\end{array}\right.$，解得a=-1，b=1，
所以存在区间[-1，1]满足②，
所以f（x）=-x³（x∈R）是闭函数．
（2）f（x）=k+$\sqrt{x+2}$在[-2，+∞）上的增函数，
由题意知，f（x）=k+$\sqrt{x+2}$是闭函数，存在区间[a，b]满足②，即：$\left\{\begin{array}{l}{k+\sqrt{a+2}=a}\\{k+\sqrt{b+2}=b}\end{array}\right.$．
即a，b是方程k+$\sqrt{x+2}$=x的两根，化简得，
a，b是方程x²-（2k+1）x+k²-2=0的两根，且a≥k，b＞k．
令f（x）=x²-（2k+1）x+k²-2，得$\left\{\begin{array}{l}{f（k）≥0}\\{△＞0}\\{\frac{2k+1}{2}＞k}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{9}{4}$＜k≤-2，所以实数k的取值范围为（-$\frac{9}{4}$，-2]．

点评 本题主要考查闭函数的定义，函数的单调性的性质，属于中档题．