题目内容

设数列{a_n}的前n项和为Sn，且S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹数列{b_n}满足bn=log₂ $数学公式$ ，其中n∈N^．
（I）求数列{a_n}通项公式；
（II）求使不等式（1+ $数学公式$ ）•（1+ $数学公式$ ）…（1+ $数学公式$ ）≥m• $数学公式$ 对任意正整数n都成立的最大实数m的值；
（III）当n∈N^时，求证 $数学公式$ ．

（Ⅰ）解：由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
两式相减，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1，所以数列{ $\text{[math]}$ }是公差为1的等差数列．
又S₁=a₁=2a₁-2²，所以a₁=4．
所以 $\text{[math]}$ =2+（n-1）=n+1，故a_n=（n+1）•2ⁿ
（II）∵b_n=log₂ $\text{[math]}$ =log₂2ⁿ=n
∴（1+ $\text{[math]}$ ）•（1+ $\text{[math]}$ ）…（1+ $\text{[math]}$ ）≥m• $\text{[math]}$ 即为（1+1）•（1+ $\text{[math]}$ ）…（1+ $\text{[math]}$ ）≥m• $\text{[math]}$
∴m≤ $\text{[math]}$ 对任意正整数n都成立
令f（n）= $\text{[math]}$ ，则f（n+1）= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞1
∴f（n）单调递增，故f（n）≥f（1）= $\text{[math]}$
∴m≤ $\text{[math]}$
∴m的最大值为 $\text{[math]}$ ；
（III）证明：欲证 $\text{[math]}$
只要证 $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ [（ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）] $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）根据数列递推式，确定数列是数列{ $\text{[math]}$ }是公差为1的等差数列，将a₁=4代入便可求出数列{a_n}的通项公式；
（II）问题可转化为m≤ $\text{[math]}$ 对任意正整数n都成立，求出右边函数的最大值，即可求得m的最大值；
（III）欲证 $\text{[math]}$ ，只要证 $\text{[math]}$ ，利用 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，即可证得结论．
点评：本题数列递推式，考查数列的通项，考查恒成立问题，考查不等式的证明，正确分离参数是关键．