Question

已知函数f(x)=x³-x²+ax-a(a∈R).
(1)当a=-3时,求函数f(x)的极值.
(2)若函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点,求a的取值范围.

Answer 1

(1) 当x=-1时,函数f(x)取得极大值为f(-1)=--1+3+3=,
当x=3时,函数f(x)取得极小值为f(3)=×27-9-9+3=-6.
(2) (0,+∞)

(1)当a=-3时,f(x)=x³-x²-3x+3.
f'(x)=x²-2x-3=(x-3)(x+1).
令f'(x)=0,得x₁=-1,x₂=3.
当x<-1时,f'(x)>0,
则函数在(-∞,-1)上是增函数,
当-1<x<3时,f'(x)<0,
则函数在(-1,3)上是减函数,
当x>3时,f'(x)>0,
则函数在(3,+∞)上是增函数.
所以当x=-1时,函数f(x)取得极大值为f(-1)=--1+3+3=,
当x=3时,函数f(x)取得极小值为f(3)=×27-9-9+3=-6.
(2)因为f'(x)=x²-2x+a,
所以Δ=4-4a=4(1-a).
①当a≥1时,则Δ≤0,∴f'(x)≥0在R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增.
f(0)=-a<0,f(3)=2a>0,所以,当a≥1时函数的图象与x轴有且只有一个交点.
②a<1时,则Δ>0,∴f'(x)=0有两个不等实数根,不妨设为x₁,x₂(x₁<x₂),∴x₁+x₂=2,x₁·x₂=a,
则

x	(-∞,x1)	x1	(x1,x2)	x2	(x2,+∞)
f'(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

∵-2x₁+a=0,∴a=-+2x₁,
∴f(x₁)=-+ax₁-a
=-+ax₁+-2x₁
=+(a-2)x₁
=x₁[+3(a-2)],
同理f(x₂)=x₂[+3(a-2)].
∴f(x₁)·f(x₂)=x₁x₂[+3(a-2)][+3(a-2)]=a(a²-3a+3).
令f(x₁)·f(x₂)>0,解得a>0.
而当0<a<1时,f(0)=-a<0,f(3)=2a>0.
故0<a<1时,函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点.
综上所述,a的取值范围是(0,+∞).