题目内容

证明：“0≤a≤”是“函数f（x）=ax2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数”的充分不必要条件．
【答案】分析：利用充分性和必要性的定义证明．
解答：解：当a=0时，f（x）=ax2+2（a-1）x+2=-2x+2，此时函数在定义域上单调递减，所以满足条件．

当a≠0时，要使函数f（x）=ax2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数，
则有，即，所以0≤，
综上满足函数f（x）=ax2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数的等价条件是0≤．
所以：“0≤a≤”是“0≤”成立的充分不必要条件，
即：“0≤a≤”是“函数f（x）=ax2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数”的充分不必要条件．
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，先求出命题的等价条件是解决本题的关键．
练习册系列答案
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对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．
则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．
（2）求证：函数y=g(x)=3-
5
x
不存在“和谐区间”．
（3）已知：函数y=h(x)=
(a2+a)x-1
a2x
（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n-m的最大值．
证明：“0≤a≤
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”是“函数f（x）=ax2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数”的充分不必要条件．

（本题满分12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.

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（Ⅲ）在（II）的条件下，过点的直线与椭圆交于两点，求的取值范围.

 
证明：“0≤a≤
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”是“函数f（x）=ax2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数”的充分不必要条件．

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