题目内容

证明：“0≤a≤
1
6
”是“函数f（x）=ax2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数”的充分不必要条件．
当a=0时，f（x）=ax2+2（a-1）x+2=-2x+2，此时函数在定义域上单调递减，所以满足条件．

当a≠0时，要使函数f（x）=ax2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数，
则有
a＞0
-
2(a-1)
2a
≥4
，即
a＞0
a≤
1
5
，所以0≤a≤
1
5
，
综上满足函数f（x）=ax2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数的等价条件是0≤a≤
1
5
．
所以：“0≤a≤
1
6
”是“0≤a≤
1
5
”成立的充分不必要条件，
即：“0≤a≤
1
6
”是“函数f（x）=ax2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数”的充分不必要条件．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=x2+（a-3）x+a2-3a（a为常数）．
（1）如果对任意x∈[1，2]，f（x）＞a2恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设实数p，q，r满足：p，q，r中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程f（x）=0的两实根，判断①p+q+r，②p2+q2+r2，③p3+q3+r3是否为定值？若是定值请求出：若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求g（a）的最小值；
（3）对于（2）中的g（a），设H(a)=-
16
[g(a)-27]，数列{an}满足an+1=H（an）（n∈N*），且a1∈（0，1），试判断an+1与an的大小，并证明之．
证明：“0≤a≤
16
”是“函数f（x）=ax2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数”的充分不必要条件．
（2010•中山一模）已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是直线外一点，向量
OA
、
OB
、
OC
满足
OA
-(
3
2
x2+1)•
OB
-[ln(2+3x)-y]•
OC
=
0
，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若x∈[
1
6
，
1
3
]，a＞ln
1
3
，证明：不等式|a-lnx|＞ln[f′（x）-3x]成立；
（3）若关于x的方程f（x）=2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．
已知函数f(x)=x2+
ax
-1( x≠0，常数a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若a=16，判断函数函数f（x）在x∈[2，+∞）时的单调性，并证明你的结论．

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