题目内容
证明：“0≤a≤
”是“函数f（x）=ax2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数”的充分不必要条件．
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分析：利用充分性和必要性的定义证明．
解答：解：当a=0时，f（x）=ax2+2（a-1）x+2=-2x+2，此时函数在定义域上单调递减，所以满足条件．
当a≠0时，要使函数f（x）=ax2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数，
则有
，即
，所以0≤a≤
，
综上满足函数f（x）=ax2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数的等价条件是0≤a≤
．
所以：“0≤a≤
”是“0≤a≤
”成立的充分不必要条件，
即：“0≤a≤
”是“函数f（x）=ax2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数”的充分不必要条件．
当a≠0时，要使函数f（x）=ax2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数，
则有
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综上满足函数f（x）=ax2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数的等价条件是0≤a≤
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所以：“0≤a≤
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即：“0≤a≤
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点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，先求出命题的等价条件是解决本题的关键．
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