Question

【题目】已知圆，直线，.

（1）证明：不论取任何实数，直线与圆恒交于两点；

（2）当直线被圆截得的弦长最短时，求此最短弦长及直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）最短弦长为.直线的方程为.

【解析】

（1）把直线的方程变形后，根据直线恒过定点，得到关于与的二元一次方程组，求出方程组的解即为直线恒过的定点坐标，然后利用两点间的距离公式求出此点到圆心的距离，发现小于圆的半径，得到此点在圆内，故直线与圆恒交于两点；

（2）由平面几何知识可知，当直线与垂直时，所截取的线段最短，由圆心和定点的坐标求出直线的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为，求出直线的斜率，由的坐标和求出的斜率写出直线的方程，再由与的坐标，利用两点间的距离公式求出即为弦心距，根据圆的半径，弦心距及弦的一半构成的直角三角形，利用勾股定理即可求出此时的弦长．

解：（1）证明：因为，

所以，

因为，所以

故直线过定点.

因为圆的圆心为，，，则点在圆内.

所以直线与圆恒交于两点.

（2）由（1）知直线过定点，所以当直线被圆截得的弦长最短时有，

弦心距，

所以最短弦长为.

因为，所以，故直线的方程为.