题目内容
如图所示，正四面体V—ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.
（1）求证：AO、BO、CO两两垂直；
（2）求〈
,
〉.
（1）求证：AO、BO、CO两两垂直；
（2）求〈
,〉.（1）证明略（2）45°
(1) 设
=a,
=b, 
=c,正四面体的棱长为1,
则
=
(a+b+c),=
(b+c-5a),
=(a+c-5b), 
=(a+b-5c)
∴·=
（b+c-5a）·（a+c-5b）
=（18a·b-9|a|2）
=（18×1×1·cos60°-9）=0.
∴⊥，∴AO⊥BO，
同理
⊥
，BO⊥CO，
∴AO、BO、CO两两垂直.
（2）
=
+
=-（a+b+c）+
=(-2a-2b+c).
∴||=
=，
||=
=
，
·
=（-2a-2b+c）·（b+c-5a）=
，
∴cos〈,〉=
=，
∵〈,〉∈(0,
),∴〈, 〉=45°.
=a,=b, =c,正四面体的棱长为1,则
=(a+b+c),=(b+c-5a),=(a+c-5b), =(a+b-5c)∴
·=（b+c-5a）·（a+c-5b）=
（18a·b-9|a|2）=
（18×1×1·cos60°-9）=0.∴
⊥，∴AO⊥BO，同理
⊥，BO⊥CO，∴AO、BO、CO两两垂直.
（2）
=+=-（a+b+c）+=
(-2a-2b+c).∴|
|==，|
|==，·=（-2a-2b+c）·（b+c-5a）=，∴cos〈
,〉==，∵〈
,〉∈(0,),∴〈, 〉=45°.
练习册系列答案
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．
平面
．
的底面
为一直角梯形，其中
，
底面
是
的中点．
表示
，并判断直线
与平面
的位置关系；
平面
，求异面直线
与
所成角的余弦值．
中，
为
的中点，则异面直线
和
间的距离 ．
中，
，底面
是直角梯形，
是直角，
，求异面直线
与
所成角的大小．
E是棱CC1上的点，且BE⊥B1C.
