题目内容

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)标准煤的几组对照数据:
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
(1)求y关于x的线性回归方程;(已知b=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
n
i=1
xi2-n
.
x
2

(2)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤,试根据(1)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低了多少吨标准煤.
分析:(1)根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据,代入求系数b的公式,求得结果,再把样本中心点代入,求出a的值,得到线性回归方程.
(2)根据上一问所求的线性回归方程,把x=100代入线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低标准煤的数量.
解答:解:(1)∵
.
x
=
1
4
(3+4+5+6)=4.5
(吨),
.
y
=
1
4
(2.5+3+4+4.5)=3.5
(吨),
4
i=1
xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5

4
i=1
x
2
i
=9+16+25+36=86

b=
4
i=1
xiyi-4
.
x
.
y
4
i=1
xi2-4
.
x
2
=
66.5-4×4.5×3.5
86-4×4.52
=0.7

∴a=
.
y
-0.7×
.
x
=3.5-0.7×4.5=0.35,
∴y关于x的回归方程为
?
y
=0.7x+0.35

(2)由(1)可知技术改造后100吨甲产品的生产能耗约为0.7×100+0.35=70.35(吨),
∵技术改造前100吨甲产品的生产能耗为90吨,
∴降低的能耗约为90-70.35=19.65(吨),
即预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低了19.65吨标准煤.
点评:本题考查线性回归方程的求法,考查最小二乘法,是一个基础题,解题时运算量比较大,注意利用公式求系数时,不要在运算上出错.属于中档题.
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