题目内容
【题目】已知函数,
,
为实数,
,
为自然对数的底数,
.
(1)当,
时,设函数
的最小值为
,求
的最大值;
(2)若关于的方程
在区间
上有两个不同实数解,求
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)先求函数导数,并在定义域内求导函数零点: ,再列表分析导函数符号变化规律,确定单调性及最小值
,再利用导数研究函数
最值:先求导数,确定定义域内导函数零点,最后根据单调性确定函数最值.(2)先变量分离:
,转化为研究函数
图像:当
时,
单调减,
;当
时,
单调增,
, 因此有两个不同实数解需
,
试题解析:解:(1)当时,函数
,
则
,
令,得
,因为
时,
,
所以
,
令,
则,令
,得
,
且当时,
有最大值1,
所以的最大值为1(表格略),(分段写单调性即可),此时
.
(2)由题意得,方程在区间
上有两个不同实数解,
所以在区间
上有两个不同的实数解,
即函数图象与函数
图象有两个不同的交点,
因为,令
,得
,
所以当时,
,
当时,
,
所以,
满足的关系式为
,即
的取值范围为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】双“十一”结束之后,某网站针对购物情况进行了调查,参与调查的人主要集中在[20,50]岁之间,若规定:购物600(含600元)以下者,称为“理智购物”,购物超过600元者被网友形象的称为“剁手党”,得到如下统计表:
分组编号 | 年龄分组 | 球迷 | 所占比例 |
1 | [20,25) | 1000 | 0.5 |
2 | [25,30) | 1800 | 0.6 |
3 | [30,35) | 1200 | 0.5 |
4 | [35,40) | a | 0.4 |
5 | [40,45) | 300 | 0.2 |
6 | [45,50] | 200 | 0.1 |
若参与调查的“理智购物”总人数为7720人.
(1)求a的值;
(2)从年龄在[20,35)的“剁手党”中按照年龄区间分层抽样的方法抽取20人; ①从这20人中随机抽取2人,求这2人恰好属于同一年龄区间的概率;
②从这20人中随机抽取2人,用ζ表示年龄在[20,25)之间的人数,求ξ的分布列及期望值.