Question

已知f（x）=2^x可以表示成一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，若关于x的不等式ag（x）+h（2x）≥0对于x∈[1，2]恒成立，则实数a的最小值是    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意可得g（x）+h（x）=2^x①，g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x）=2^-x②从而可得h（x）=，g（x）=
而ag（x）+h（2x）≥0对于x∈[1，2]恒成立即a对于x∈[1，2]恒成立即对于x∈[1，2]恒成立，只要求出函数的最大值即可
解答：解：f（x）=2^x可以表示成一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和
∴g（x）+h（x）=2^x①，g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x）=2^-x②
①②联立可得，h（x）=，g（x）=
ag（x）+h（2x）≥0对于x∈[1，2]恒成立
a对于x∈[1，2]恒成立
对于x∈[1，2]恒成立
t=2^x-2^-x，x∈[1，2]，t∈则t在t∈单调递增，
t=时，则t=
a
故答案为：
点评：本题主要考查了奇偶函数的定义的应用，函数的恒成立的问题，常会转化为求函数的最值问题，体现了转化思想的应用．