Question

13．如图所示的一块长方体木料中，已知AB=BC=4，AA₁=1，设E为底面ABCD的中心，且$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{AD}$（0≤λ≤$\frac{1}{2}$），则该长方体中经过点A₁、E、F的截面面积的最小值为$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 首先找到经过点A₁、E、F的截面为平行四边形，然后根据平行四边形面积公式结合二次函数知识求得截面的最小值．

解答 解：设截面为A₁FMN，显然A₁FMN为平行四边形，过A点作AG⊥MF与G，则MG⊥A₁G，作MK⊥AD与K，
根据题意AF=4λ，则CM=DK=4λ，KF=4-8λ，MF=$\sqrt{{4}^{2}+（4-8λ）^{2}}$，
易知Rt△MKF∽Rt△AGF，∴$\frac{KM}{MF}=\frac{AG}{4λ}$，∴AG=$\frac{16λ}{MF}$，
∴A₁G²=AG²+AA₁²=$\frac{（16λ）^{2}}{M{F}^{2}}$+1，
∴S_截面²=MF²×A₁G²=MF²×（$\frac{（16λ）^{2}}{M{F}^{2}}$+1）=16²λ²+4²+（4-8λ）²
=32（10λ²-2λ+1）=320（λ-$\frac{1}{10}$）²+$\frac{144}{5}$（0≤λ≤$\frac{1}{2}$），
∴当λ=$\frac{1}{10}$时，S_截面²=取得最小值$\frac{144}{5}$，此时S_截面为$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了棱柱的结构特征．本题中的长方体是一直棱柱，所以棱AA₁⊥平面ABCD，则AA₁⊥AE．