Question

【题目】已知定义在R上的函数f（x）= （a∈R）是奇函数，函数g（x）= 的定义域为（﹣2，+∞）．
（1）求a的值；
（2）若g（x）= 在（﹣2，+∞）上单调递减，根据单调性的定义求实数m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（﹣1，1）上有且仅有两个不同的零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），

∴ =﹣ ，得a=0

（2）解：∵ 在（﹣2，+∞）上单调递减，

∴任给实数x1，x2，当﹣2＜x1＜x2时，g（x1）＞g（x2），

∴

∴m＜0

（3）解：由（1）得f（x）= ，令h（x）=0，即 ．

化简得x（mx2+x+m+2）=0．

∴x=0或 mx2+x+m+2=0

若0是方程mx2+x+m+2=0的根，则m=﹣2，

此时方程mx2+x+m+2=0的另一根为 ，符合题意

若0不是方程mx2+x+m+2=0的根，

则函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（﹣1，1）上有且仅有两个不同的零点

等价于方程mx2+x+m+2=0（※）在区间（﹣1，1）上有且仅有一个非零的实根

①当△=12﹣4m（m+2）=0时，得 ．

若 ，则方程（※）的根为 ，符合题意；

若 ，则与（2）条件下m＜0矛盾，不符合题意．

∴

③当△＞0时，令ω（x）=mx2+x+m+2

由 ，得 ，

解得

综上所述，所求实数m的取值范围是

【解析】（1）根据函数f（x）是奇函数，求出a=0即可；（2）根据函数g（x）在（﹣2，+∞）上单调递减，得到g（x1）﹣g（x2）＞0，从而求出m的范围即可；（3）问题转化为x=0或 mx2+x+m+2=0，通过讨论m的范围结合二次函数的性质求出m的范围即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．