题目内容
在平面直角坐标系中,长度为3的线段AB的端点A、B分别在轴上滑动,点M在线段AB上,且,
(1)若点M的轨迹为曲线C,求其方程;
(2)过点的直线与曲线C交于不同两点E、F,N是曲线上不同于E、F的动点,求面积的最大值.
(1)C的方程是;(2).
解析试题分析:(1)设,则.用定比分点坐标公式可得与之间的关系式,将此关系式代入即得只含的方程,此即M的轨迹方程.(2)首先考虑直线的斜率不存在的情况,即,此时.当直线的斜率存在时,设,,联立,再用韦达定理即得(含k的代数式).由题知过N的直线,且与椭圆切于N点时,最大,故设
联立与椭圆方程得,此时.的距离即为点N到EF的距离,所以,化简,平方后利用导数可得其最大值.
(1)由题知,设
有代入得,
所以曲线C的方程是 4分
(2)当直线的斜率不存在时,即,此时 5分
当直线的斜率存在时,设,
联立,有.
7分
由题知过N的直线,且与椭圆切于N点时,最大,故设
联立与椭圆方程得,此时
的距离,所以
化简 10分
设,有
,所以函数在上单调递减,当时,函数取得最大值,即时
综上所述 .13分.
考点:1、轨迹方程的求法;2、直线与圆锥曲线的关系;3、利用导数求最值.
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