Question

12．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）与直线x=±$\sqrt{2}$a分别交于A，B，C，D四点，且四边形ABCD为正方形，则此双曲线的离心率为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据题意，（$\sqrt{2}$a，$\sqrt{2}$a）满足方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，结合双曲线的基本量的平方关系和离心率的定义，化简整理即得该双曲线的离心率．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴对角线AC、BD所在直线是各象限的角平分线
因此，双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）与直线x=±$\sqrt{2}$a有四个交点
∴（$\sqrt{2}$a，$\sqrt{2}$a）满足方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴2-$\frac{2{a}^{2}}{{b}^{2}}$=1
∴b²=2a²，
∴c²=3a²，可得e=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题给出双曲线上四个点构成以原点为中心的正方形，求它的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．