Question

20．已知曲线y=x³，求
（1）过点B（1，1）且与曲线相切的直线方程；
（2）过点C（1，0）且与曲线相切的直线方程．

Answer 1

分析 （1）设切点为（x₀，y₀），根据解析式求出导数、y₀，由导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式方程求出切线方程，把点（1，1）代入切线方程通过因式分解求出x，代入切线方程化简即可．
（2）设切点为（m，n），求出导数，求得x=m处的切线的斜率，写出切线方程，代入点（1，0），再由切点满足曲线方程，解m，n的方程，可得m，进而得到切线的斜率，以及切线方程．

解答 解：（1）设切点为（x₀，y₀），由题意得y=3x²，y₀=x₀³，
则切线的斜率k=3x₀²，
∴切线方程是：y-x₀³=3x₀²（x-x₀），①
∵切线过点（1，1），∴1-x₀³=3x₀²（1-x₀），
化简得，2x₀³-3x₀²+1=0，
2（x₀³-1）-3（x₀²-1）=0，
则（x₀-1）（2x₀²-x₀-1）=0，
解得x₀=1或x₀=-$\frac{1}{2}$，代入①得：3x-y-2=0或3x-4y+1=0，
∴切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0．
（2）设切点为（m，n），
y=x³的导数为y′=3x²，
则切线的斜率为k=3m²，
切线的方程为y-n=3m²（x-m），
代入点（1，0），可得n=3m²（m-1），
又n=m³，
即有m³=3m²（m-1），
解得m=0或1.5，
即有切线的斜率为0或6.75．
则过点（1，0）且与曲线相切的切线方程为y=0或54x-8y-54=0．

点评 本题考查了导数的几何意义，即点P处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用，注意在某点处的切线和过某点的切线的区别，考查化简、计算能力．