Question

已知椭圆的离心率为，且椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）如图，设直线与椭圆交于两点（其中点在第一象限），且直线与定直线交于点，过作直线交轴于点，试判断直线与椭圆的公共点个数．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）一个.

解析试题分析：（Ⅰ）利用、、之间的相互关系与题设条件求出、、的值，从而确定椭圆的标准方程；（Ⅱ）根据题设条件分别点、、的坐标，进而求出直线的方程，再联立直线和椭圆的标准方程，利用法确定直线与椭圆的公共点个数.
试题解析：（Ⅰ）设，易知，又，得，于是有．
故椭圆的标准方程为．      4分
（Ⅱ）联立得，
的坐标为．故．

依题意可得点的坐标为．设的坐标为，  故．
因为，所以，解得，
于是直线的斜率为，                  8分
从而得直线的方程为：，代入，
得，
即，知，
故直线与椭圆有且仅有一个公共点．                           13分
考点：椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系