Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， M为PD的中点，PA⊥平面ABCD，PA=AD= 4, AB = 2.

（1）求证：AM⊥平面MCD；

（2）求直线PC与平面MAC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）根据PA⊥平面ABCD可得PA⊥CD，又CD⊥AD ，所以CD⊥平面PAD，得CD⊥AM，又AM⊥PD，即可证明AM⊥平面MCD（2）建立空间坐标系，利用向量法求解即可.

因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，

又CD⊥AD，PA∩AD=A,

所以CD⊥平面PAD，

又AM平面PAD，所以CD⊥AM,

又∵PA=AD=4,且M为PD中点，

所以AM⊥PD，

又∵CD∩PD=D,

所以AM⊥平面MCD

（2）因为PA⊥平面ABCD，AB⊥AD,

所以可建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（0,0,0），P(0,0,4)，C（2,4,0），M（0,2,2）

设平面MAC的一个法向量为=，

由⊥, ⊥，可得

令，则=（2，-1，1）

设直线PC与平面MAC所成的角为，

则，

所以直线PC与平面MAC所成角的正弦值为.