题目内容
【题目】如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,AC=BC=AA1=A1C=2,平面ACC1A1⊥平面ABC.现以边AC的中点D为坐标原点,平面ABC内垂直于AC的直线为轴,直线AC为
轴,直线DA1为
轴建立空间直角坐标系,解决以下问题:
(1)求异面直线AB与A1C所成角的余弦值;
(2)求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)以边AC的中点D为坐标原点,平面ABC内垂直于AC的直线为x轴,直线AC为y轴,直线DA1为z轴建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线AB与A1C所成角的余弦值.
(2)求出平面A1BC的法向量,利用向量法能求出直线AB与平面A1BC所成角的正弦值.
(1)三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BCA=90°,AC=BC=AA1=A1C=2,平面ACC1A1⊥平面ABC.
以边AC的中点D为坐标原点,
平面ABC内垂直于AC的直线为x轴,
直线AC为y轴,直线DA1为z轴建立空间直角坐标系,
根据题中空间直角坐标系可知:
A(0,﹣1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),A1(0,0,),
∴=(2,2,0),
=(0,1,﹣
),
∴cos<>=
=
=
,
设异面直线AB与A1C的所成角为α,则,
∴异面直线AB与A1C所成角的余弦值为.
(2)由(1)得:=(2,1,﹣
),
=(﹣2,0,0),
设平面A1BC的法向量为=(x,y,z),
∴,取z=1,则
=(0,
),
∴cos<,
>=
=
=
.
设直线AB与平面A1BC所成角为β,β∈(0,],
则sinβ=|cos<,
>|=
.
故直线AB与平面A1BC所成角的正弦值为.
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