Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．

（1）求证：AB⊥PD；
（2）若∠BPC=90°，PB= ，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，∴AB⊥AD，

又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD

（2）解：过P做PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，

作OM⊥BC，连接PM

∴PM⊥BC，

∵∠BPC=90°，PB= ，PC=2，

∴BC= ，PM= = = ，BM= = ，

设AB=x，∴OM=x∴PO= ，

∴VP﹣ABCD= ×x× × = = ，

当 ，即x= ，VP﹣ABCD= ，

建立空间直角坐标系O﹣AMP，如图所示，

则P（0，0， ），D（﹣ ，0，0），C（﹣ ， ，0），M（0， ，0），B（ ， ，0）

面PBC的法向量为 =（0，1，1），面DPC的法向量为 =（1，0，﹣2）

∴cosθ= =﹣ =﹣ ．由图可知二面角为锐角，即cos

【解析】（1）要证AD⊥PD，可以证明AB⊥面PAD，再利用面面垂直以及线面垂直的性质，即可证明AB⊥PD．（2）过P做PO⊥AD得到PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，连接PM，由边长关系得到BC= ，PM= ，设AB=x，则VP﹣ABCD= ，故当 时，VP﹣ABCD取最大值，建立空间直角坐标系O﹣AMP，利用向量方法即可得到夹角的余弦值．