Question

已知圆C：x²+y²-4x-14y+45=0．
（Ⅰ）若M（x，y）为圆C上任一点，求K=

y-3

x-6

的最大值和最小值；
（Ⅱ）已知点N（-6，3），直线kx-y-6k+3=0与圆C交于点A、B两点，取AB的中点为P，问：当k为何值时，直线AB与直线NP垂直？

Answer 1

分析：（1）由题意可得，圆心到直线的距离小于或等于半径，解不等式求得K=

y-3

x-6

的最大值和最小值．
（2）由直线和圆相交的性质可得NP⊥AB，且C，N，P三点共线，故有 kNP=kNC=

7-3

2-(-6)

=

1

2

，由此求得k的值．

解答：解：（1）⊙C：(x-2)2+(y-7)2=(2

2

)2，
由于⊙C与直线Kx-y-6K+3=0有公共点，故圆心到直线的距离d=

|2K-7-6K+3|

K2+1

≤r=2

2

，
解得 -2-

3

≤K≤-2+

3

，所以，Kmax=-2+

3

；Kmin=-2-

3

．
（2）由于圆心与圆内弦的连线与弦垂直，即CP⊥AB，又因为NP⊥AB，
所以C，N，P三点共线，故 kNP=kNC=

7-3

2-(-6)

=

1

2

，
所以k_AB=-2，即k=-2时，直线AB与直线NP垂直．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．