题目内容
设两个向量
，
满足|
|=2，|
|=1，
与
的夹角为
，若向量2t
+7
与
+t
的夹角为钝角，则实数t的范围为
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| π |
| 3 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
（-7，-
）∪（-
，-
）
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（-7，-
）∪（-
，-
）
．
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
分析：根据向量2t
+7
与
+t
的夹角为钝角，得其数量积小于0，展开后得到关于t的不等式求解t的范围，然后除掉两向量共线反向时的t的值．
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
解答：解：由向量2t
+7
与
+t
的夹角为钝角，得
＜0，
即(2t
+7
)•(
+t
)＜0，
2t|
|2+2t2
•
+7
•
+7t|
|2＜0，
化简即得2t2+15t+7＜0，
解得-7＜t＜-
，
当夹角为π时，也有(2t
+7
)•(
+t
)＜0，
但此时夹角不是钝角，
设2t
+7
=λ(
+t
)，λ＜0，
则
，∴
∴所求实数t的范围是(-7，-
)∪(-
，-
)．
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
(2t
| ||||||||
|2t
|
即(2t
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
2t|
| e1 |
| e1 |
| e2 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
化简即得2t2+15t+7＜0，
解得-7＜t＜-
| 1 |
| 2 |
当夹角为π时，也有(2t
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
但此时夹角不是钝角，
设2t
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
则
|
|
∴所求实数t的范围是(-7，-
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查了平面向量数量积的运算，两向量夹角为锐角，数量积大于0，夹角为钝角，数量积小于0，注意数量积小于0时夹角还有180°的情况，此题是中档题，也是易错题．
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