题目内容
【题目】函数
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若
，求证：
.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）对
分类讨论，利用导数证明单调性即可；
（2）构造函数
利用导数得出
的极值点，根据极值点得出
，再次构造函数
，
利用导数证明其单调性，根据单调性得出
，结合
得出
，再由的单调性，即可证明
.
（1）函数
，
.
.
对分类讨论：
时，
，可得：
时，函数
单调递减；
时，函数单调递增.
时，令
，
.
时，
，
，则函数在
上单调递减.
且时，由
，解得
，
.
.
时，
，∴函数在
，
上单调递减；在
上单调递增.
时，
，∴函数在上单调递减，在
上单调递增.
（2）证明：
即
令
∴
可得函数在
上单调递减，在
上单调递增
∴
时，函数取得极小值即最小值，
∵，∴
设
，
∴函数
在上单调递增，∴
∴
∵
，
，在上单调递增，∴
∴
【题目】红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.（表中
）
平均温度 | 21 | 23 | 25 | 27 | 29 | 32 | 35 | ||
平均产卵数 | 7 | 11 | 21 | 24 | 66 | 115 | 325 | ||
|
|
|
|
| |||||
27.429 | 81.286 | 3.612 | 40.182 | 147.714 | |||||
（1）根据散点图判断，
与
（其中
自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y关x的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）
（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为
.
①记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为
，求的最大值，并求出相应的概率p.
②当取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X，求X的数学期望和方差.
附：线性回归方程系数公式
.
【题目】为缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量.某地车牌竞价的原则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞价人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2018年10月份的车牌竞价，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（见表）：
月份 | 2018.04 | 2018.05 | 2018.06 | 2018.07 | 2018.08 |
月份编号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
竞拍人数y(万人) | 0.5 | 0.6 | m | 1.4 | 1.7 |
（1）由收集数据的散点图发现，可以线性回归模拟竞拍人数y(万人)与月份编号t之间的相关关系.现用最小二乘法求得y关于t的回归方程为
，请求出表中的m的值并预测2018年9月参与竞拍的人数；
（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年9月车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如下一个频数表：
报价区间(万元) | [1，2) | [2，3) | [3，4) | [4，5) | [5，6) | [6，7] |
频数 | 20 | 60 | 60 | 30 | 20 | 10 |
（i）求这200位竞拍人员报价的平均值
(同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替)；
（ii）假设所有参与竞拍人员的报价X服从正态分布
，且
为(i)中所求的样本平均数的估值，
.若2018年9月实际发放车牌数量为3174，请你合理预测(需说明理由)竞拍的最低成交价.参考公式及数据：若随机变量Z服从正态分布，则：
，
，
.
