Question

5．底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB=4，∠ABD=30°，∠BAD=60°，AC∩BD=0，PO⊥面ABCD．
（1）求证AD⊥PB；
（2）Q为边BC上的任意一点，若PQ与面PBD所成的最大角为45°，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知可求得∠ADB=90°，即BD⊥AD，再由PO⊥面ABCD，得PO⊥AD，然后利用线面垂直的判断得到AD⊥面PBD，则答案得证；
（2）由（1）中的证明可得CB⊥面PBD，从而得到PQ与面PBD所成的最大角为∠CPB，结合已知即可求得四棱锥P-ABCD的高PO，代入体积公式求得体积．

解答 （1）证明：如图，
由已知∠ABD=30°，∠BAD=60°，得∠ADB=90°，即BD⊥AD，
又∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥AD，
∵PO∩BD=O，∴AD⊥面PBD，
又PB?面PBD，∴AD⊥PB；
（2）解：∵BC∥AD，AD⊥面PBD，∴CB⊥面PBD，
∴PQ与面PBD所成的角即∠QPB，最大时为∠CPB．
由已知，∠CPB=45°，AB=4，BC=2，OB=$\sqrt{3}$，
在△PBC中，∠CBP=90°，PB=BC=2，
在△PBO中，∠POB=90°，PO=1，
∴四棱锥P-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{ABCD}•PO=\frac{1}{3}×2×2\sqrt{3}×1=\frac{4}{3}\sqrt{3}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．