题目内容
13．已知i是虚数单位，C是全体复数构成的集合，若映射f：C→R满足：对任意z1，z2∈C，以及任意λ∈R，都有f（λz1+（1-λ）z2）=λf（z1）+（1-λ）f（z2），则称映射f具有性质P．给出如下映射：①f1：C→R，f1（z）=x-y，z=x+yi（x，y∈R）；
②f2：C→R，f2（z）=x2-y，z=x+yi（x，y∈R）；
③f3：C→R，f3（z）=2x+y，z=x+yi（x，y∈R）；
其中，具有性质P的映射的序号为（ ）
| A． | ①② | B． | ①③ | C． | ②③ | D． | ①②③ |
分析 求出两个向量的和的坐标；分别对三个函数求f（λz1+（1-λ）z2）、λf（z1）+（1-λ）f（z2）的值，判断哪个函数具有f（λz1+（1-λ）z2）=λf（z1）+（1-λ）f（z2）
解答 解：设 z1=（x1，y1），z2=（x2，y2），则λ z1+（1-λ） z2=（λx1+（1-λ）x2，λy1+（1-λ）y2），
对于①，f[λa+（1-λ）z2]=λx1+（1-λ）x2+λy1+（1-λ）y2+1=λ（x1+y1）+（1-λ）（x2+y2）+1
而λf（ a）+（1-λ）f（z2）=λ（x1+y1+1）+（1-λ）（x2+y2+1）═λ（x1+y1）+（1-λ）（x2+y2）+1，
f1满足性质p；f2（λa+（1-λz2））=[λx1+（1-λ）x2]2+[λy1+（1-λ）y2]，λf2（z1）+（1-λ）f2（b）=λ（x12+y1）+（1-λ）（x22+y2）
∴f2（λz1+（1-λz2））≠λf2（z1）+（1-λ）f2（z2），
∴映射f2不具备性质P．
对于②，对于③，f[λ a+（1-λ）z2]=λx1+（1-λ）x2-λy1-（1-λ）y2=λ（x1-y1）+（1-λ）（x2-y2）
而λf（z1）+（1-λ）f（z2）=λ（x1-y1）+（1-λ）（x2-y2），f3满足性质P
故选：B．
点评 本题考查理解题中的新定义、考查利用映射的法则求出相应的像．
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4．若函数f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$在区间（1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
| A． | （-∞，-2] | B． | （-∞，-1] | C． | [1，+∞） | D． | [2，+∞） |
底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB=4，∠ABD=30°，∠BAD=60°，AC∩BD=0，PO⊥面ABCD．
如图，已知三棱柱ABC-ABC侧棱柱垂直于底面，AB=AC，∠BAC=90°点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
3．设i是虚数单位，若复数z=（m2-1）（m+1）i（m∈R）是纯虚数，则复数$\frac{1}{z+m}$的虚部是（ ）
| A． | -$\frac{2}{5}$i | B． | -$\frac{2}{5}$ | C． | $\frac{2}{5}$i | D． | $\frac{2}{5}$ |