题目内容

【题目】如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分线段PC,且分别交AC,PC于D,E两点,PB=BC,PA=AB=1.

(1)求证:PC⊥平面BDE;
(2)求直线BE与平面PAC所成角的余弦值.

【答案】
(1)证明:∵DE垂直平分线段PC,

∴PC⊥DE,

∵PB=BC,E是PC的中点,

∴PC⊥BE,

又DE平面BDE,BE平面BDE,DE∩BE=E,

∴PC⊥平面BDE


(2)解:∵PC⊥平面BDE,BD平面BDE,

∴PC⊥BD,

∵PA⊥平面ABC,BD平面ABC,

∴PA⊥BD,

又PC平面PAC,PA平面PAC,PC∩PA=P,

∴BD⊥平面PAC,

∴∠BED为直线BE与平面PAC所成的角,

∵PA=AB=1,AB⊥BC,∴PB=BC= ,AC=

∴PC=2,∴CE= PC=1,∴BE= =1,

∵sin∠ACB= ,即 ,∴BD=

∴DE=

∴cos∠BED= =

∴直线BE与平面PAC所成角的余弦值为


【解析】(1)由DE⊥PC,PC⊥BE得出PC⊥平面BDE;(2)由PC⊥BD,PA⊥BD得出BD⊥平面PAC,故∠BED为BE与平面PAC所成的角,利用勾股定理计算BE,DE得出cos∠BED.
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角,掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想;已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则即可以解答此题.

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