Question

9．已知椭圆C₁，$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞1）与椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1有相同的离心率，经过点P（-2，0）的直线l与椭圆C₂相交于P、Q两点，与椭圆C₁相交于A、B两点．
（1）若线段PQ的中点M在直线x+3y=0上，求直线l的方程；
（2）若存在直线l，使得P、Q三等分线段AB，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出直线l的方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系及中点坐标公式得到M的坐标，代入直线x+3y=0求出直线l的斜率，则答案可求；
（2）由存在直线l，使得P、Q三等分线段AB，求出椭圆C₁长半轴的最大值，结合离心率求出b的最大值，则b的取值范围可求．

解答 解：（1）设直线l的方程为y=k（x+2），代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
整理可得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
设Q（m，n），则-2+m=-$\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，-2m=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴0+n=$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$，
∴M（-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{2k}{1+4{k}^{2}}$），
代入x+3y=0，可得-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+3×$\frac{2k}{1+4{k}^{2}}$=0，∴k=0或$\frac{3}{4}$，
∴直线l的方程是y=0或y=$\frac{3}{4}$（x+2）；
（2）∵椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的长轴长为4，
∴若存在直线l，使得P、Q三等分线段AB，则
椭圆C₁，$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞1）的长轴长最大为12，
即a最大为6，由$\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得${b}^{2}=\frac{1}{4}{a}^{2}$，即$b=\frac{1}{2}a$，
∴b最大为3，
则b的取值范围是（1，3）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，体现了“舍而不求”的解题思想方法，是中档题．