题目内容
（2013•绵阳二模）动点M（x，y）与定点F（l，0）的距离和它到直线l：x=4的距离之比是常数
，O为坐标原点．
（I ）求动点M的轨迹E的方程，并说明轨迹E是什么图形？
（II） 已知圆C的圆心在原点，半径长为
是否存在圆C的切线m，使得m与圆C相切于点P，与轨迹E交于A，B两点，且使等式
•
=
2成立？若存在，求 出m的方程；若不存在，请说明理由．
| 1 |
| 2 |
（I ）求动点M的轨迹E的方程，并说明轨迹E是什么图形？
（II） 已知圆C的圆心在原点，半径长为
| 2 |
| AP |
| PB |
| OP |
分析：（I）根据两点之间的距离公式、点到直线的距离公式，结合题意建立关于x、y的等式，化简整理即得
+
=1，可得轨迹E为焦点在x轴上的椭圆．
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），根据向量数量积的运算性质，结合OP⊥AB化简得
•
=0．求出圆C方程为x2+y2=2，假设满足条件的直线m存在，分直线m的斜率存在与不存在两种情况加以讨论，联解直线m与椭圆
+
=1的方程组，结合根与系数的关系建立x1+x2、x1x2关于斜率k和纵截距b的等式，所得到的方程均无实数解，由此可得不存在直线m满足题中的条件．
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），根据向量数量积的运算性质，结合OP⊥AB化简得
| OA |
| OB |
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）∵|MF|=
，M（x，y）到直线l：x=4的距离为|x-4|，
∴由题意，得
=
，
化简整理，得：
+
=1，可得轨迹E为焦点在x轴上的椭圆． …（5分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∵
•
=（
+
）•（
+
）=
2+
•
+
•
+
•
，
由题知OP⊥AB，故
•
=
•
=0．∴
•
=
2+
•
=0．
∵圆C的圆心在原点，半径长为
，∴圆C方程为x2+y2=2．
假设满足条件的直线m存在，
①当直线m的斜率不存在时，则m的方程为x=±
，
代入椭圆
+
=1，得y=±
．
∴
•
=x1x2+y1y2=-2-
≠0，这与
•
=0矛盾，故此时m不存在．
②当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y=kx+b，
∴|OP|=
=
，即b2=2k2+2．
联立
+
=1与y=kx+b得，（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0，
∴x1+x2=
，x1x2=
，
y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=k2x1x2+kb（x1+x2）+b2=
，
∴
•
=x1x2+y1y2=
+
=0．
∴7b2-12k2-12=0，
又∵b2=2k2+2，
∴2k2+2=0，该方程无解，即此时直线m也不存在．
综上所述，不存在直线m满足条件．…（13分）
| (x-1)2+y2 |
∴由题意，得
| ||
| |x-4| |
| 1 |
| 2 |
化简整理，得：
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∵
| OA |
| OB |
| OP |
| PA |
| OP |
| PB |
| OP |
| OP |
| PB |
| PA |
| OP |
| PA |
| PB |
由题知OP⊥AB，故
| OP |
| PB |
| PA |
| OP |
| OA |
| OB |
| OP |
| PA |
| PB |
∵圆C的圆心在原点，半径长为
| 2 |
假设满足条件的直线m存在，
①当直线m的斜率不存在时，则m的方程为x=±
| 2 |
代入椭圆
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
| ||
| 2 |
∴
| OA |
| OB |
| 6 |
| 4 |
| OA |
| OB |
②当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y=kx+b，
∴|OP|=
| |b| | ||
|
| 2 |
联立
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
∴x1+x2=
| -8kb |
| 3+4k2 |
| 4b2-12 |
| 3+4k2 |
y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=k2x1x2+kb（x1+x2）+b2=
| 3b2-12k2 |
| 3+4k2 |
∴
| OA |
| OB |
| 4b2-12 |
| 3+4k2 |
| 3b2-12k2 |
| 3+4k2 |
∴7b2-12k2-12=0，
又∵b2=2k2+2，
∴2k2+2=0，该方程无解，即此时直线m也不存在．
综上所述，不存在直线m满足条件．…（13分）
点评：本题给出动点满足的条件，求动点的轨迹方程并讨论了直线m与曲线的位置关系．着重考查了椭圆的标准方程和简单性质、轨迹方程的求法和直线与圆锥曲线关系等知识，属于中档题．
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