Question

12．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$，0＜β＜$\frac{π}{2}$，且cosα=$\frac{1}{7}$，cos（α+β）=$-\frac{11}{14}$，求β的值．

Answer 1

分析 由同角三角函数基本关系可得sinα和sin（α+β），代入cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα，计算可得．

解答 解：∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，0＜β＜$\frac{π}{2}$，∴0＜α+β＜π，
又∵cosα=$\frac{1}{7}$，cos（α+β）=$-\frac{11}{14}$，
∴sinα=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，sin（α+β）=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]
=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=$-\frac{11}{14}×\frac{1}{7}+\frac{5\sqrt{3}}{14}×\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜β＜$\frac{π}{2}$，∴β=$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查两角和与差的余弦函数，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．