题目内容
函数y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数的充要条件是
b≥0
b≥0
.分析:根据二次函数的图象与性质,结合充要条件的判断方法进行正反推理,即可得到所求充要条件.
解答:解:∵函数y=x2+bx+c的图象是开口向上的抛物线,关于直线x=-
对称,
∴函数在区间(-∞,-
]上是减函数,在区间[-
,+∞)上是增函数
当函数y=x2+bx+c在区间[0,+∞)上是单调函数时,
必定-
≤0,解之得b≥0
另一方面,当b≥0时,函数y=x2+bx+c图象的对称轴x=-
在y轴的左边,
此时,函数在[-
,+∞)上是增函数,则在[0,+∞)也是增函数.
综上所述,函数y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数的充要条件是b≥0
故答案为:b≥0
b |
2 |
∴函数在区间(-∞,-
b |
2 |
b |
2 |
当函数y=x2+bx+c在区间[0,+∞)上是单调函数时,
必定-
b |
2 |
另一方面,当b≥0时,函数y=x2+bx+c图象的对称轴x=-
b |
2 |
此时,函数在[-
b |
2 |
综上所述,函数y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数的充要条件是b≥0
故答案为:b≥0
点评:本题给出二次函数,求在区间[0,+∞)上为单调函数的充要条件,着重考查了二次函数的图象与性质、充要条件的判断等知识,属于基础题.
练习册系列答案
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“b≥-1”是“函数y=x2+bx+1(x∈[1,+∞))为增函数”的( )
A、充分但不必要条件 | B、必要但不充分条件 | C、充要条件 | D、既不是充分条件也不是必要条件 |