Question

【题目】已知正四面体的表面积为，为棱的中点，球为该正四面体的外接球，则过点的平面被球所截得的截面面积的最小值为______.

Answer 1

【答案】

【解析】

根据题意，根据正四面体的表面积求出棱长和正方体的边长，再利用正方体的体对角线等于外接球的直径，即可求出球的半径，当过点的截面到球心的距离最大距离时，截面圆的面积达最小值，最后利用球的截面的性质求出截面圆的半径，即可求出截面圆的面积最小值.

解：如图所示，球为正四面体的外接球，即为正方体的外接球，

正四面体的表面积为，

设正四面体的棱长为，则，

解得：，

所以正方体的棱长为：，

设正四面体的外接球的半径为，

则，即，

为棱的中点，过点作其外接球的截面，

当截面到球心的距离最大值时，截面圆的面积达最小值，

此时球心到截面距离等于正方体棱长的一半，即，

可得截面圆的半径为：，

所以截面圆的面积最小值为：.

故答案为：.