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【题目】【2015高考湖北】如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.
(1)圆C的标准方程为________.
(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:
①=
;②
-
=2;
③+
=2
.
其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号).
【答案】(1)(x-1)2+(y-)2=2 (2)①②③
【解析】(1)取AB的中点D,连接CD,则CD⊥AB.
由题意|AD|=|CD|=1,
故|AC|==
,即圆C的半径为
.
又因为圆C与x轴相切于点T(1,0),所以圆心C的坐标为(1,),故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-
)2=2.
(2)在(x-1)2+(y-)2=2中,令x=0,得y=
±1,
故A(0,-1),B(0,
+1).设M(x1,y1),N(x2,y2),
当直线MN斜率不存在时,令M(0,-1),N(0,1),
则=
=
-1,
=
=
-1.
∴=
.
当直线MN斜率存在时,设直线MN的方程为y=kx+-1,由
得(1+k2)x2+2(-1)kx+2(1-
)=0,
则x1+x2=,x1x2=
,
kBM+kNB=+
=+
=+
=-
+2k
=-+2k=0,
所以kBM=-kNB,所以∠MBA=∠NBA,BA是∠MBN的平分线.
由内角平分线定理得=
,即
=
.
故=
恒成立.
当k=0时,可求得=
-1,
故=
-1为定值.
所以-
=
-(
-1)=2,
+
=
+
-1=2
.
故①②③都正确.
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